Relasi ekuivalen adalah suatu relasi yang memenuhi tiga sifat, yaitu refleksif, simetris, dan transitif. Relasi ekuivalen dapat digunakan untuk mengelompokkan objek-objek yang memiliki kesamaan tertentu. Pada bilangan riil, salah satu contoh relasi ekuivalen adalah relasi modulo.
Relasi modulo adalah relasi yang menyatakan bahwa dua bilangan riil memiliki sisa sama jika dibagi dengan bilangan tertentu. Misalnya, relasi modulo 5 adalah relasi yang menyatakan bahwa dua bilangan riil memiliki sisa sama jika dibagi dengan 5. Relasi ini dapat ditulis dengan simbol ≡5 atau ≡ mod 5.
Contoh: 7 ≡ 2 (mod 5) karena 7 dan 2 memiliki sisa sama yaitu 2 jika dibagi dengan 5.
Relasi modulo 5 juga dapat ditulis dengan cara lain, yaitu dengan menggunakan perbedaan antara dua bilangan riil. Misalnya, kita dapat menulis 7 ≡ 2 (mod 5) sebagai 7 – 2 habis dibagi dengan 5. Dengan kata lain, kita dapat menulis relasi modulo 5 sebagai berikut:
Untuk setiap a, b ∈ R, a ≡ b (mod 5) jika dan hanya jika b – a habis dibagi dengan 5.
Relasi ini merupakan suatu relasi ekuivalen pada R karena memenuhi tiga sifat berikut:
- Refleksif: Untuk setiap a ∈ R, a ≡ a (mod 5) karena a – a = 0 habis dibagi dengan 5.
- Simetris: Untuk setiap a, b ∈ R, jika a ≡ b (mod 5), maka b ≡ a (mod 5) karena b – a = -(a – b) habis dibagi dengan 5.
- Transitif: Untuk setiap a, b, c ∈ R, jika a ≡ b (mod 5) dan b ≡ c (mod 5), maka a ≡ c (mod 5) karena a – c = (a – b) + (b – c) habis dibagi dengan 5.
Dengan demikian, kita dapat membuktikan bahwa relasi modulo 5 merupakan suatu relasi ekuivalen pada R.
Relasi ekuivalen pada R memiliki beberapa kegunaan dalam matematika, seperti untuk mendefinisikan kelas-kelas kesetaraan, sistem bilangan modular, dan kongruensi. Relasi ekuivalen juga dapat digeneralisasikan ke objek-objek lain selain bilangan riil, seperti himpunan, fungsi, matriks, dan lain-lain.